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Difficultés en mathématiques : renforcer l’intuition du nombre, l’attention visuelle et les capacités d’imagerie

Il peut paraître étonnant de parler d’intuition dans le domaine des mathématiques. Cette intuition, bien qu’approximative, ne serait en vérité qu’une capacité innée de percevoir et d’appréhender des grandeurs et des quantités dès la naissance, avant même tout enseignement des nombres et de leurs valeurs symboliques.

Un sens inné et universel (ou presque)?

Les capacités d'accès au nombre ont été démontrées dès 1978 par Gelman et Gallistel, puis plus largement par Wynn dans les années 90. Dans ces travaux, Wynn montre que des bébés de 4 mois ont la capacité de mener des opérations d'addition ou de soustraction sur de très petites quantités. Si on cache deux objets derrière un paravent, que l'on en retire ostensiblement ou ajoute un, un nourrisson s'attend à voir le nombre exact une fois le paravent enlevé, trois en cas d'ajout, un en cas de suppression. Si les objets présentés ne correspondent pas à au décompte exact, le nourrisson manifestera sa surprise, preuve de sa capacité à anticiper le résultat.
Piaget remis en cause
Ces recherches ont peu à peu remise en question la théorie de Piaget (Van Hout 1995) sur la compréhension du nombre chez l’enfant, considérée comme un accès gradué, stade après stade, passant progressivement d’une conception visuo-spatiale à une conception logico-mathématique. De même qu’il existe un accès au nombre comme quantité avant même que le bébé ne puisse manipuler des objets, le subitizing existe chez l’enfant d’âge maternel, cette capacité à appréhender immédiatement sans passer par le comptage une petite numérosité, deux, trois, quatre ou cinq objets environ chez l’adulte.
Pour autant, cet accès au nombre intuitif, ou inné, n’élimine pas une lente maturation autour du nombre, telle qu’observée par Piaget, où peu à peu les inférences visuo-spatiales laissent le pas à des inférences logiques, de plus en plus abstraites. Parallèlement, l’instruction permet à l’enfant d’aborder un ensemble de règles algorithmiques qui le font peu à peu accéder à une connaissance académique des mathématiques, où chaque savoir et habilité dépend de la compréhension et de l’automaticité de savoirs et habilités précédemment appris. 
Mais alors comment vraiment différencier des difficultés mathématiques dues à une assimilation incomplète ou tronquée d’un savoir académique et une ou des dyscalculies, induites par un trouble de ce que l’on pourrait appeler l’intuition du nombre et pour lequel des aménagements et des stratégies d’apprentissages particuliers devraient être mis en place ?
Troubles spécifique des apprentissages (TSA) avec déficit en mathématiques et dyscalculie(s)
Dans le DSM V, deux types de troubles sont évoqués, les troubles spécifiques des apprentissages avec des difficultés en mathématiques et la dyscalculie. La différence entre les deux est la présence ou non de troubles du raisonnement. La dyscalculie est présentée comme un trouble de l’intuition du nombre, des faits mathématiques et la difficulté à réaliser des calculs exacts sans trouble du raisonnement logique en mathématiques.
Les mathématiques demandent la mise en œuvre de fonctions cognitives hautes (attention – mémoire – planification visuo-spatiales). D’un point de vue scolaire, les mathématiques requièrent la lecture et l’écriture des nombres arabes, le transcodage des chiffres arabes en mots-nombre et vice versa, la maitrise des algorithmes, la mémorisation des faits mathématiques (tables) pour pouvoir calculer, une intuition du nombre permettant de dénombrer, estimer, comparer, positionner des nombres sur une droite imaginaire.
Ces compétences fondamentales (Butterworth 1999, 2005, 2010) sont travaillées les premières années de primaire. Et c’est souvent, dès ces premiers apprentissages, que les enfants, atteints de TSA avec déficit en mathématiques ou dyscalculie, se montreront en difficulté. Pour autant ces difficultés peuvent être très différentes d’un enfant à l’autre, toucher l’intuition du nombre dès les petites classes ou toucher seulement un module de l’activité mathématique (les capacités de calcul, la compréhension des symboles + ou x, une difficulté à automatiser certains algorithmes spatiaux (pause des opérations) mais non le traitement numérique, l’intuition du nombre par exemple.)
Le modèle de Sokol
Pour rendre compte de ces difficultés plusieurs modèles d’explication ont été tenté. Le modèle de Sokol (1994) différencie deux mécanismes, un mécanisme de traitement numérique (appréhension, représentation des chiffres arabes et mots nombres) et un mécanisme de calcul (algorithmes, symboles d’opération, tables). Chacun de ces mécanismes est divisé en de nombreux sous-systèmes, rendant compte d’habilités particulières.
Ce modèle a l’avantage de montrer que seules certaines compétences peuvent être touchées alors que d’autres restent intactes, ce qui invalide d’une certaine manière le point de vue piagétien, d’une progression mathématique marche après marche. A noter que les exemples cliniques rapportés par Sokol sont souvent des enfants en difficulté en mathématiques et souffrant par ailleurs de dyslexie.
Le modèle de Dehaene
Le modèle de Dehaene opère également une différence entre plusieurs systèmes cognitifs, un système visuel et un système auditif verbal permettant à eux deux l’écriture des nombres, le calcul, le dénombrement, la mémorisation des faits mathématiques et des algorithmes ; et un troisième système analogique (représentation des nombres sur une droite imaginaire), essentiel car reposant sur l’intuition du nombre. La comparaison de grandeurs, le subitizing qui permet d’appréhender immédiatement une petite quantité sans avoir à la dénombrer, l’estimation qui autorise une idée approximative d’une quantité sont aux fondements de cette intuition.
Une approche « syncrétique »
Une dernière approche neuropsychologique (Lussier et Flessas 1997) ajoute au modèle de Sokol et Dehaene, qu’elle intègre, la prise en compte des compétences visuo-spatiales dans les difficultés mathématiques, se rapprochant ainsi des travaux incontournables du docteur Michèle Mazeau sur le sujet. Plus globalement, Lussier et Flessas insistent sur la démarche cognitive, l’importance des fonctions exécutives (attention – mémoire – planification – inhibition) dans la résolution de problèmes, la généralisation de stratégies et l’automatisation d’algorithmes particuliers mais aussi sur l’origine tant attentionnelle que visuo-spatiale de certaines erreurs en mathématiques. Certaines erreurs découlent de difficultés instrumentales au niveau du langage. Ainsi des élèves dyslexiques ou dysphasiques, obtenant un faible score à l’indice de raisonnement verbal, éprouvent bien souvent des difficultés en mathématiques. Mais il y a d’autres sources d’erreurs, les erreurs produites par un déficit attentionnel et/ou des faibles capacités visuo-spatiales, lesquelles ne signent pas une atteinte obligatoire du sens du nombre, tel que l’envisage Dehaene.
Pour chaque cas, il convient de bien analyser l’origine des difficultés, la remédiation proposée ne devant pas être la même pour un enfant dyslexique, avec un déficit verbal prononcé mais avec d’excellentes capacités visuospatiales que pour un enfant TDAH ou dyspraxique, pouvant s’appuyer lui, à l’inverse, sur d’excellente capacités verbales. Enfin, l’atteinte du sens du nombre (capacité à appréhender la quantité comme telle), signe d’une dyscalculie, venant s’ajouter à un TSA (Trouble du Spectre de l’Autisme) , est à vérifier et n’appellera elle non plus les même réponses.
Michèle Mazeau, qui a initié de nombreux travaux sur la dyspraxie en France, à ce propos fait une distinction intéressante entre dyscalculie secondaire observable chez des enfants dyspraxiques ou TDAH et dyscalculie primaire, où l’intuition du nombre semble faire défaut, dyscalculie sévère mais relativement plus rare.
La classification des erreurs mathématiques
Il est courant de citer Räsänen et Ahonen (1999) et leur tentative de répertorier les classifications des erreurs observées en mathématiques. Pour Lussier, Chevrier, et Gascon, « la plupart des erreurs décrites correspondent en fait à des erreurs d’inattention (bonne opération, mais erreur de chiffres, oubli d’un chiffre ou erreur aléatoire).  Bien que les auteurs [Räsänen et Ahonen] attribuent aux mauvais lecteurs la plupart des erreurs de faits numériques, nous continuons de penser, affirment Lussier et ses acolytes, que celles-ci proviennent largement d’une mauvaise utilisation des fonctions stratégiques.[1] »
Concernant les capacités visuo-spatiales, la géométrie n’est pas seule affectée. On peut considérer que certains algorithmes (pose et sens d’opération), certains symboles lexicaux, ceux qui permettent de déterminer le plus grand ou le plus petit, ont un rapport avec l’espace, de même que de positionner des nombres sur une droite orientée.
Le modèle de Lussier et Flessas
Selon le modèle de Lussier et Flessas (1997), il y aurait trois systèmes, correspondant aux fonctions cognitives de tout apprenant, les fonctions stratégiques (raisonnement, mémoire, attention et fonctions exécutives), importantes dans la résolution de problèmes, les fonctions associatives servant pour le traitement numérique et les fonctions instrumentales pour assurer l’exactitude du calcul. Les auteurs insistent sur le rôle des fonctions exécutives (planification, inibhition), de l’attention, de la mémoire et notamment de la mémoire de travail, dont le déficit entraîne de faibles performances en général sur le plan scolaire.
Ainsi plusieurs types de difficultés en mathématiques se dessinent, des difficultés d’origine verbales avec Sokol, des difficultés du système non verbal, analogique (ou intuition du nombre), avec Dehaene, des difficultés attentionnels (Räsänen et Ahonen) et des difficultés cognitives, touchant les fonctions de haut niveau (raisonnement – attention, mémoire, fonctions exécutives et capacités visuo-spatiales) avec Lussier et Flessas.
Mais alors quelle remédiation pour chacune de ces difficultés, quel entraînement ou quelle aide (aménagement) quand la rééducation marque ses limites ?

Dédys, une appli pour renforcer l’intuition du nombre
S’il s’agit d’un déficit de l’intuition du nombre ou des fonctions exécutives, il parait évident de renforcer la capacité de représentation et d’imagerie mentale. Pour cela le plus simple est d’utiliser des représentations de grandeur par des constellations de points.

La ressource numérique pédagogique Dédys* repose sur ce postulat. Elle propose des exercices de cycle 2 augmentés d’une représentation visuelle systématiques, des dés avec des constellation de points au-dessus d’exercices traditionnels faisant apparaître des chiffres arabes ou des mots nombres. L’objectif est simple : renforcer l’intuition du nombre chez des enfants, peinant à se représenter les nombres et les quantités.
Renforcer l’attention visuelle
A cette représentation visuelle, Dédys ajoute un autre postulat. Beaucoup de difficultés en mathématiques ne proviennent pas d’un manque d’intuition du nombre mais d’un déficit soit attentionnel, soit visuo-constructif. Contre le déficit attentionnel, la mise en relief de certains éléments, en utilisant un contraste plus élevé, des couleurs différentes, peut s’avérer une aide utile. L’utilisation de couleurs différentes pour les dizaines, les unités et les centaines mais aussi pour les symboles d’opération évitent certaines erreurs de lecture et de manipulation dans le cadre transformations opératoires. On peut aussi envisager que la mise en couleur des constellations de points puisse renforcer les capacités d’estimation et aider au dénombrement.
Enfin Dédys propose une interface intuitive, des démos (tutos) courtes sans ou très peu de consignes verbales pour en pas entraver les élèves avec un déficit dans le domaine du langage mais de bonnes capacités mathématiques à condition de les développer et de les guider (visuellement).
Renforcer la représentation mentale
Chez certains enfants, dysphasiques, la présentation d’un modèle visuel (notamment dans la résolution de problèmes) peut aider et peut être renforcée également par un retour verbal. Chez d’autres, dyspraxiques, la représentation visuelle perturbe mais la verbalisation peut être utile. Dédys se veut un outil paramétrable, avec support visuel des quantités (dés) amovibles et synthèse vocale, activables ou non, pour renforcer la représentation mentale, dès le cycle 2.
Avigal Amar-Tuillier
@avigalat
@cogniTICE
© libre de droit à condition de citer l’auteur et l’association CogniTice

*Dédys, appli-web, outils et resousurces, a reçu le soutien de la commission EduUp du ministère de l’éducation. Dédys est en cours de développement et sera accessible sur ce site à partir de la rentrée 2019 (fin septembre) avec des activités cycle 2 (d’autres activités à venir).
(Petite) bibliographie
Butterworth B. (1999). The mathematical brain. London: MacMillan.

Butterworth B. (2005). The development of arithmetical abilities. Journal of Child Psychology and Psychiatry, 46 (1), 3-18.

Butterworth B. (2010). Foundational numerical capacities and the origins of dyscalculia. Trends in Cognitive Neuroscience, 14 (12), 534-541.

Butterworth B., Varma S., Laurillard D. (2011). Dyscalculia: from brain to education. Science, 332 (6033), 1049- 1053. Review. Erratum in Science (2011), 334 (6057), 761.

« Quoi de neuf dans les Troubles Spécifiques de l’Apprentissage», A.N.A.E., 128, février 2014, vol. 26, Tome I, Dossier coordonné par Y. Chaix.

S. Dehaene, La Bosse des maths, Odile Jacob 1997

Lussier, Francine; Chevrier, Eliane; Gascon, Line. Neuropsychologie de l'enfant - 3e éd. 2017 : Troubles développementaux et de l'apprentissage (Univers Psy) (French Edition) Dunod. Édition du Kindle.

R. Gelman & C. R. Gallistel, The Child’s Understanding of Number, Harvard University Press, 1978

Michèle Mazeau, Alain Pouhet, Neuropsychologie et troubles des apprentissages chez l'enfant : du développement typique aux Dys, éditions Elesevier Masson 2014.

Rourke B.P. (1993). «Arithmetic Disabilities, Specific and Otherwise: A Neuropsychological Perspective ». Journal of Learning Disability, 26, 214-226.

Van Hout A. (1995) Troubles du calcul et fonction de l’hémisphère droit chez l’enfant. Approche neuropsychologique des apprentissages chez l’enfant (ANAE), hors-série, 34-41.

K. Wynn, « addition and subtraction by human infants », Nature, n°358, 1992





[1] Lussier, Francine; Chevrier, Eliane; Gascon, Line. Neuropsychologie de l'enfant - 3e éd. : Troubles développementaux et de l'apprentissage (Univers Psy) (French Edition) (Page 615). Dunod. Édition du Kindle.


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